Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:
1. Definición de Variables:
- Sea \(\( w \)\) el ancho del terreno en metros.
- Dado que el largo es el doble del ancho, entonces el largo es \(\( 2w \)\) metros.
2. Área Original del Terreno:
- El área original del terreno es \(\( w \times 2w = 2w^2 \)\).
3. Nuevas Dimensiones:
- Si el largo aumenta en 6 metros, el nuevo largo será \(\( 2w + 6 \)\) metros.
- Si el ancho aumenta en 2 metros, el nuevo ancho será \(\( w + 2 \)\) metros.
4. Área Duplicada:
- El área duplicada del terreno se calcula como \(\( 2 \times (Área\ Original) = 2 \times 2w^2 = 4w^2 \)\).
5. Ecuación para el Nuevo Área:
- La nueva área también puede expresarse como \(\( (w + 2) \times (2w + 6) \)\).
- Igualamos esta nueva área con el doble del área original: \(\( (w + 2) \times (2w + 6) = 4w^2 \)\).
6. Solución de la Ecuación:
- Desarrollamos y simplificamos la ecuación:
\(\[
(w + 2)(2w + 6) = 4w^2
\]\)
\(\[
2w^2 + 6w + 4w + 12 = 4w^2
\]\)
\(\[
2w^2 + 10w + 12 = 4w^2
\]\)
\(\[
10w + 12 = 2w^2
\]\)
\(\[
2w^2 - 10w - 12 = 0
\]\)
- Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos dos raíces: \(\( w = -1 \)\) y \(\( w = 6 \)\).
7. Validación de Soluciones:
- Descartamos \(\( w = -1 \)\) porque no tiene sentido en el contexto de dimensiones físicas negativas.
- Quedamos con \(\( w = 6 \)\).
8. Determinación de las Dimensiones:
- Si \(\( w = 6 \)\):
- Ancho = 6 metros.
- Largo = 2w = 2 \times 6 = 12 metros.
Por lo tanto, las dimensiones del terreno son 6 metros de ancho y 12 metros de largo.
La respuesta correcta es C) 6 y 12.
