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### TEMA: Movimiento en el plano con vectores
### CONCEPTOS:
El objetivo es analizar el movimiento de un barco a través de un río utilizando vectores de posición y velocidad en un sistema de coordenadas.
### Ejercicio
Dado el vector de posición del barco en función del tiempo \(\( t \)\), expresado en unidades del Sistema Internacional como:
\(\[ \mathbf{r}(t) = 4t^2\mathbf{i} + t\mathbf{j} \]\)
1) Expresión del vector velocidad instantánea:
Para encontrar la expresión del vector velocidad instantánea, debemos derivar el vector de posición \(\(\mathbf{r}(t)\)\) respecto al tiempo \(\( t \)\).
\(\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \]\)
La derivada de cada componente del vector de posición con respecto al tiempo \(\( t \)\) es:
- La componente \(\( x \)\) de \(\(\mathbf{r}(t)\)\) es \(\( 4t^2 \)\). Su derivada con respecto al tiempo \(\( t \)\) es:
\(\[ \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t \]\)
- La componente \(\( y \)\) de \(\(\mathbf{r}(t)\)\) es \(\( t \)\). Su derivada con respecto al tiempo \(\( t \)\) es:
\(\[ \frac{d}{dt}(t) = 1 \]\)
Por lo tanto, la expresión del vector velocidad instantánea es:
\(\[ \mathbf{v}(t) = 8t\mathbf{i} + \mathbf{j} \]\)
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2) Valor del vector velocidad instantánea para \(\( t = 3 \)\) s y su módulo:
Para encontrar el vector velocidad instantánea en \(\( t = 3 \)\) s, sustituimos \(\( t = 3 \)\) en la expresión del vector velocidad:
\(\[ \mathbf{v}(3) = 8 \cdot 3 \mathbf{i} + \mathbf{j} = 24\mathbf{i} + \mathbf{j} \]\)
Así, el vector velocidad instantánea en \(\( t = 3 \)\) s es:
\(\[ \mathbf{v}(3) = [24, 1] \]\)
Ahora, para encontrar el módulo del vector velocidad instantánea, utilizamos la fórmula del módulo de un vector \(\(\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} \)\):
\(\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2} \]\)
Aplicando esto a nuestro vector \(\(\mathbf{v}(3) = [24, 1]\)\):
\(\[ \|\mathbf{v}(3)\| = \sqrt{24^2 + 1^2} = \sqrt{576 + 1} = \sqrt{577} \]\)
El módulo del vector velocidad instantánea para \(\( t = 3 \)\) s es, aproximadamente:
\(\[ \|\mathbf{v}(3)\| \approx 24.02 \]\)
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Recapitulando, el vector velocidad instantánea en \(\( t = 3 \)\) s es:
\(\[ \mathbf{v}(3) = [24, 1] \]\)
Y su módulo es, aproximadamente:
\(\[ \|\mathbf{v}(3)\| \approx 24.02 \]\)
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