Para resolver esta pregunta, observemos la expresión cuadrática que se menciona: \(\(x^2 + 8x + 15\)\). Esta expresión se puede escribir como el producto de dos binomios.
Sabemos que la forma expandida de \(\((x + a)(x + b)\)\) es \(\(x^2 + (a + b)x + ab\)\). Comparando esto con nuestra expresión dada \(\(x^2 + 8x + 15\)\), podemos comenzar a identificar los valores de \(\(a\)\) y \(\(b\)\).
1. Identificar \(\(a\)\) y \(\(b\)\) a partir del término lineal:
El término lineal de nuestra expresión es \(\(8x\)\), lo que indica que:
\(\[
a + b = 8
\]\)
2. Identificar \(\(a\)\) y \(\(b\)\) a partir del término constante:
El término constante de nuestra expresión es \(\(15\)\), lo que implica que:
\(\[
ab = 15
\]\)
3. Usar la información dada:
Aquí, sabemos que uno de los números es 3, es decir, uno de los factores debe ser \(\(x + 3\)\). Entonces, si \(\(a = 3\)\), podemos encontrar \(\(b\)\) resolviendo la siguiente ecuación:
\(\[
3 + b = 8
\]\)
4. Resolver para \(\(b\)\):
\(\[
b = 8 - 3 = 5
\]\)
Por lo tanto, \(\(b\)\) debe ser 5. Entonces, el otro binomio es \(\(x + 5\)\).
La expresión cubierta por la mancha es \(\(x + 5\)\).
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
C) \(\(x + 5\)\)
