Para resolver el problema, debemos encontrar los valores de \(\(x\)\) que cumplen la ecuación \(\(x^2 = 4x - 3\)\). Vamos a seguir los siguientes pasos:
### Paso 1: Plantear la ecuación
El enunciado nos dice que "el cuadrado de un número es 3 menos que cuatro veces el número". Esto se puede traducir a la siguiente ecuación:
\(\[x^2 = 4x - 3\]\)
### Paso 2: Reorganizar la ecuación
Vamos a reorganizar la ecuación para que esté en la forma estándar \(\(ax^2 + bx + c = 0\)\). Restamos \(\(4x\)\) y sumamos \(\(3\)\) a ambos lados:
\(\[x^2 - 4x + 3 = 0\]\)
### Paso 3: Factorizar la ecuación cuadrática
Para resolver la ecuación, busquemos factores que, cuando se multiplican, nos den \(\(x^2 - 4x + 3\)\). Factorizaremos la ecuación:
\(\[(x - 1)(x - 3) = 0\]\)
### Paso 4: Encontrar las soluciones
Una ecuación factorizada igual a cero tiene soluciones donde cada factor es igual a cero:
\(\[x - 1 = 0 \quad \text{o} \quad x - 3 = 0\]\)
Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos:
\(\[x = 1 \quad \text{y} \quad x = 3\]\)
### Paso 5: Verificar las soluciones
Vamos a verificar ambas soluciones volviendo a la ecuación original:
1. Si \(\(x = 1\)\):
\(\[1^2 = 1\]\)
\(\[4 \cdot 1 - 3 = 1\]\)
Ambas partes son iguales, así que \(\(x = 1\)\) es una solución correcta.
2. Si \(\(x = 3\)\):
\(\[3^2 = 9\]\)
\(\[4 \cdot 3 - 3 = 9\]\)
Ambas partes son iguales, así que \(\(x = 3\)\) es una solución correcta.
### Paso 6: Ver las opciones dadas
Las opciones son: -3, 1, -1, 0, 3
Ya hemos validado nuestras soluciones y son 1 y 3.
### Conclusión
Los valores que podrían ser el número son:
\(\[ \boxed{1 \quad \text{y} \quad 3} \]\)
Por lo tanto, las respuestas correctas entre las opciones dadas son 1 y 3.
