Claro, vamos a resolver este problema de física paso a paso utilizando la ley de la gravitación universal de Newton.
### Datos:
1. Masa del primer cuerpo (\(\( m_1 \)\)): 45 gramos
2. Distancia de separación (\(\( r \)\)): 3 cm
3. Fuerza de atracción gravitacional (\(\( F \)\)): \(\( 5 \times 10^{-2} \)\) dinas
### Conversión de Unidades:
1. Convertimos la masa del primer cuerpo a kilogramos:
\(\[ m_1 = 45\, \text{g} = 45 \times 10^{-3}\, \text{kg} \]\)
\(\[ m_1 = 0.045\, \text{kg} \]\)
2. Convertimos la distancia de separación a metros:
\(\[ r = 3\, \text{cm} = 3 \times 10^{-2}\, \text{m} \]\)
\(\[ r = 0.03\, \text{m} \]\)
3. Convertimos la fuerza gravitacional a Newtons:
\(\[ F = 5 \times 10^{-2}\, \text{dinas} \]\)
Sabemos que:
\(\[ 1\, \text{dina} = 10^{-5}\, \text{Newtons} \]\)
Por lo tanto:
\(\[ F = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-5}\, \text{Newtons} \]\)
\(\[ F = 5 \times 10^{-7}\, \text{Newtons} \]\)
### Fórmula:
La ley de la gravitación universal de Newton es:
\(\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]\)
Donde:
- \(\( F \)\) es la fuerza gravitacional,
- \(\( G \)\) es la constante de gravitación universal (\(\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)\)),
- \(\( m_1 \)\) y \(\( m_2 \)\) son las masas de los dos cuerpos,
- \(\( r \)\) es la distancia entre los centros de los dos cuerpos.
Solvamos para \(\( m_2 \)\):
\(\[ m_2 = \frac{F \cdot r^2}{G \cdot m_1} \]\)
### Sustitución:
Sustituimos los valores dados y convertidos en la fórmula:
\(\[ m_2 = \frac{5 \times 10^{-7}\, \text{Newtons} \cdot (0.03\, \text{m})^2}{6.67430 \times 10^{-11}\, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \cdot 0.045\, \text{kg}} \]\)
### Cálculo:
1. Calculamos el numerador:
\(\[ 5 \times 10^{-7} \times (0.03)^2 = 5 \times 10^{-7} \times 0.0009 = 4.5 \times 10^{-10} \text{Newtons} \cdot \text{m}^2 \]\)
2. Calculamos el denominador:
\(\[ 6.67430 \times 10^{-11} \times 0.045 = 3.003435 \times 10^{-12} \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \]\)
3. Finalmente, dividimos para encontrar \(\( m_2 \)\):
\(\[ m_2 = \frac{4.5 \times 10^{-10}}{3.003435 \times 10^{-12}} \approx 149.89\, \text{kg} \]\)
### Resultado:
La masa del segundo cuerpo (\(\( m_2 \)\)) debe ser aproximadamente \(\( 149.89\, \text{kg} \)\).
