Vamos a resolver el problema paso a paso. Queremos encontrar una fracción \(\( f \)\) que cumpla con la ecuación:
\(\[ f^3 + f = \left( \frac{117}{36} \right) f^3 \]\)
Primero, simplificamos el factor \(\(\frac{117}{36}\)\):
\(\[ \frac{117}{36} = \frac{117 \div 3}{36 \div 3} = \frac{39}{12} = \frac{39 \div 3}{12 \div 3} = \frac{13}{4} \]\)
Entonces la ecuación se convierte en:
\(\[ f^3 + f = \left( \frac{13}{4} \right) f^3 \]\)
Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar la fracción:
\(\[ 4f^3 + 4f = 13f^3 \]\)
Reorganizamos los términos para tener todo de un lado de la ecuación:
\(\[ 4f^3 + 4f - 13f^3 = 0 \]\)
\(\[ -9f^3 + 4f = 0 \]\)
Factorizamos \(\( f \)\):
\(\[ f(-9f^2 + 4) = 0 \]\)
Esto implica que sus soluciones son:
\(\[ f = 0 \quad \text{o} \quad -9f^2 + 4 = 0 \]\)
Para la segunda solución:
\(\[ -9f^2 + 4 = 0 \]\)
\(\[ 9f^2 = 4 \]\)
\(\[ f^2 = \frac{4}{9} \]\)
\(\[ f = \pm \frac{2}{3} \]\)
Ya que una fracción negativa no es una opción válida en este context, solamente consideramos:
\(\[ f = \frac{2}{3} \]\)
Entonces, la fracción buscada es:
\(\[ \boxed{\frac{2}{3}} \]\)
Opción (d) es la correcta.
