Para resolver este problema, necesitamos encontrar cuántas fracciones con denominador 144 están en el intervalo (1/4, 7/12).
Primero, convertimos las fracciones 1/4 y 7/12 al mismo denominador, que en este caso es 144.
1. Convertir 1/4 al denominador 144:
\(\[
1/4 = x/144
\]\)
Para encontrar el numerador \(\( x \)\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador de \(\( 1/4 \)\) por 36 (ya que \(\( 4 \times 36 = 144 \)\)):
\(\[
1 \times 36 / 4 \times 36 = 36 / 144
\]\)
Entonces, \(\( 1/4 \)\) es equivalente a \(\( 36/144 \)\).
2. Convertir 7/12 al denominador 144:
\(\[
7/12 = y/144
\]\)
Para encontrar el numerador \(\( y \)\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador de \(\( 7/12 \)\) por 12 (ya que \(\( 12 \times 12 = 144 \)\)):
\(\[
7 \times 12 / 12 \times 12 = 84 / 144
\]\)
Entonces, \(\( 7/12 \)\) es equivalente a \(\( 84/144 \)\).
Ahora que tenemos las fracciones convertidas al mismo denominador:
- Queremos fracciones mayores que \(\( 36/144 \)\) y menores que \(\( 84/144 \)\).
Debemos contar las fracciones que tienen denominador 144 y cuyos numeradores están en el intervalo abierto (36, 84). Es decir, necesitamos numeradores que sean enteros y estén estríctamente entre 36 y 84.
3. Contar los numeradores enteros en el intervalo (36, 84):
\(\[
37, 38, 39, \ldots, 83
\]\)
Esto es una secuencia de 37 hasta 83. Para contar cuántos números hay en este intervalo, calculamos el número de elementos de esta secuencia:
\(\[
84 - 36 - 2 = 83 - 37 + 1
\]\)
4. Calcular la cantidad de elementos:
\(\[
83 - 37 + 1 = 47
\]\)
Entonces, hay 47 fracciones con denominador 144 que son mayores que \(\( 1/4 \)\) y menores que \(\( 7/12 \)\).
