Let \(\mathbf v=\mathbf x+\mathbf y\). Then
\(0=\left(\mathbf v^\top\mathbf{Av}\right)^\top\)
\(0=(\mathbf x+\mathbf y)^\top\mathbf A^\top(\mathbf x+\mathbf y)\)
\(0=\mathbf x^\top\mathbf A^\top\mathbf x+\mathbf x^\top\mathbf A^\top\mathbf y+\mathbf y^\top\mathbf A^\top\mathbf x+\mathbf y^\top\mathbf A^\top\mathbf y\)
\(0=\mathbf x^\top\mathbf A^\top\mathbf y+\mathbf y^\top\mathbf A^\top\mathbf x\)
\(\mathbf x^\top\mathbf A^\top\mathbf y=-\mathbf y^\top\mathbf A^\top\mathbf x\)
\(\mathbf x^\top\mathbf A^\top\mathbf y=-\left(\mathbf x^\top\mathbf{Ay}\right)^\top\)
which requires \(\mathbf A=-\mathbf A^\top\), so the answer is yes.
